Расчет среднего абсолютного отклонения

Автор: | 06.05.2022

Статистика позволяет измерить дисперсию или дисперсию. Хотя чаще используются диапазон и стандартное отклонение, есть и другие способы количественной оценки дисперсии. Мы увидим, как рассчитать абсолютное среднее отклонение для набора данных.

Определение

Начнем с определения абсолютного среднего отклонения, которое также называется абсолютным средним отклонением. Формула, представленная в этой статье, является формальным определением абсолютного среднего отклонения. Возможно, имеет смысл рассматривать эту формулу как процесс или серию шагов, которые мы можем использовать для получения нашей статистики.

  1. Мы начинаем со среднего или центра набора данных, который мы обозначим как m.
  2. Затем мы определяем, насколько каждое из значений данных отклоняется от m. Это означает, что мы берем разницу между каждым из значений данных и m.
  3. Затем мы берем абсолютное значение каждого отличия от предыдущего шага. Другими словами, мы отбрасываем любой негатив при любом различении. Причина в том, что бывают положительные и отрицательные отклонения от m. Если мы не найдем способ устранить отрицательные знаки, все отклонения нейтрализуют друг друга, если мы их сложим.
  4. Теперь мы добавим все эти абсолютные значения.
  5. Наконец, мы делим эту сумму на n — общее количество значений данных. Результат — абсолютное среднее отклонение.

Варианты

Есть несколько вариантов описанного выше процесса. Обратите внимание, что мы не указали точно, что такое m. Причина в том, что мы можем использовать различную статистику для m. Обычно это центр нашего набора данных, поэтому можно использовать любое центральное измерение тренда.

Наиболее распространенными статистическими измерениями центра набора данных являются среднее значение, медиана и мода. Следовательно, каждый из них может использоваться как m при вычислении абсолютного среднего отклонения. Вот почему принято относиться к среднему абсолютному отклонению относительно среднего или среднему абсолютному отклонению от медианы. Мы увидим несколько примеров этого.

Пример: Среднее абсолютное отклонение относительно среднего

Предположим, мы начнем со следующего набора данных:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Среднее значение этого набора данных равно 5. В следующей таблице организована наша работа по вычислению абсолютного среднего отклонения от среднего..

Значение данных Отклонение от среднего Величина абсолютного отклонения
1 1-5 = -4 -4 = 4
2 2–5 = -3 -3 = 3
2 2–5 = -3 -3 = 3
3 3-5 = -2 -2 = 2
5 5-5 = 0 0 = 0
7 7–5 = 2 2 = 2
7 7–5 = 2 2 = 2
7 7–5 = 2 2 = 2
7 7–5 = 2 2 = 2
девять 9–5 = 4 4 = 4
  Сумма абсолютных отклонений: 24

Теперь давайте разделим эту сумму на 10, так как всего имеется десять значений данных. Среднее абсолютное отклонение от среднего составляет 24/10 = 2,4.

Пример: Среднее абсолютное отклонение от среднего

Начнем с другого набора данных:

1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.

Как и в предыдущем наборе данных, среднее значение этого набора данных равно 5.

Значение данных Отклонение от среднего Величина абсолютного отклонения
1 1-5 = -4 -4 = 4
1 1-5 = -4 -4 = 4
4 4-5 = -1 -1 = 1
5 5-5 = 0 0 = 0
5 5-5 = 0 0 = 0
5 5-5 = 0 0 = 0
5 5-5 = 0 0 = 0
7 7–5 = 2 2 = 2
7 7–5 = 2 2 = 2
10 10–5 = 5 5 = 5
  Сумма абсолютных отклонений: 18

Следовательно, абсолютное среднее отклонение от среднего составляет 18/10 = 1,8. Сравним этот результат с первым примером. Хотя среднее значение было одинаковым для каждого из этих примеров, данные в первом примере были более разбросанными. Из этих двух примеров можно увидеть, что абсолютное среднее отклонение от первого примера больше, чем абсолютное среднее отклонение от второго примера. Чем больше абсолютное среднее отклонение, тем больше разброс наших данных.

Пример: среднее абсолютное отклонение относительно медианы

Начните с того же набора данных, что и в первом примере:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Медиана набора данных равна 6. В следующей таблице мы показываем детали расчета абсолютного среднего отклонения от медианы.

Значение данных Отклонение от медианы Величина абсолютного отклонения
1 1-6 = -5 -5 = 5
2 2-6 = -4 -4 = 4
2 2-6 = -4 -4 = 4
3 3-6 = -3 -3 = 3
5 5-6 = -1 -1 = 1
7 7-6 = 1 1 = 1
7 7-6 = 1 1 = 1
7 7-6 = 1 1 = 1
7 7-6 = 1 1 = 1
девять 9–6 = 3 3 = 3
  Сумма абсолютных отклонений: 24

Разделите сумму еще раз на 10, и вы получите среднее отклонение от медианы как 24/10 = 2,4.

Пример: Среднее абсолютное отклонение от медианы

Начните с того же набора данных, что и раньше:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

На этот раз мы обнаруживаем, что режим этого набора данных равен 7. В таблице ниже мы показываем детали расчета среднего абсолютного отклонения для режима.

Данные Отклонение от режима Величина абсолютного отклонения
1 1-7 = -6 -5 = 6
2 2-7 = -5 -5 = 5
2 2-7 = -5 -5 = 5
3 3-7 = -4 -4 = 4
5 5-7 = -2 -2 = 2
7 7-7 = 0 0 = 0
7 7-7 = 0 0 = 0
7 7-7 = 0 0 = 0
7 7-7 = 0 0 = 0
девять 9-7 = 2 2 = 2
  Сумма абсолютных отклонений: 22

Делим сумму абсолютных отклонений и видим, что у нас есть среднее абсолютное отклонение на режиме 22/10 = 2.2.

Быстрые факты

Есть несколько основных свойств, связанных со средними абсолютными отклонениями

  • Среднее абсолютное отклонение от медианы всегда меньше или равно среднему абсолютному отклонению около значения.
  • Стандартное отклонение больше или равно абсолютному среднему отклонению от среднего.
  • Среднее абсолютное отклонение иногда снижается до MAD. К сожалению, это может сбивать с толку, поскольку MAD может также относиться к среднему абсолютному отклонению.
  • Среднее абсолютное отклонение для нормального распределения примерно в 0,8 раза превышает размер стандартного отклонения.

Распространенное использование

Абсолютное среднее отклонение имеет несколько применений. Первое применение состоит в том, что эту статистику можно использовать, чтобы научить некоторым идеям, лежащим в основе стандартного отклонения. Абсолютное среднее отклонение от среднего намного легче вычислить, чем стандартное отклонение. Это не требует возведения отклонений в квадрат, и нет необходимости находить квадратный корень в конце расчета. Кроме того, среднее абсолютное отклонение более интуитивно связано с разбросом набора данных, чем стандартное отклонение. Вот почему иногда перед вводом стандартного отклонения изучается абсолютное среднее отклонение.

Некоторые зашли так далеко, что утверждают, что стандартное отклонение следует заменить абсолютным средним отклонением. Хотя стандартное отклонение важно для научных и математических приложений, оно не так интуитивно понятно, как абсолютное среднее отклонение. Для повседневных приложений более ощутимым способом измерения дисперсии данных является абсолютное среднее 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.